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高中数学直线的斜率怎么求?-竞猜足球app

2022-01-06 20:43:09文/叶丹

已知过两点(x1,y1)(x2,y2),则斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)。直线的斜率可理解为倾斜的程度,它是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切,反映直线对水平面的倾斜度。小编为大家整理了相关内容,大家接着往下看吧。

直线的斜率怎么求

三种方法:(斜率存在时)

1.已知倾斜角a,斜率k=tana

2.已知过两点(x1,y1)(x2,y2),则斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)

3.已知直线的方向向量(a,b)则斜率k=b/a

直线的斜率是什么

可理解为倾斜的程度,它是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切,反映直线对水平面的倾斜度。直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)。

如果直线与x轴垂直,直角的正切值无穷大,故此直线不存在斜率。当直线l的斜率存在时,对于一次函数y=kx b(斜截式),k即该函数图像(直线)的斜率。

直线与方程

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倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围:    0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点p1(x1,y1),p2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线p1p2的斜率:

   斜率公式: k=y2-y1/x2-x1         

两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有l1∥l2

2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

 

 

直线的点斜式方程

1、  直线的点斜式方程:直线经过点,且斜率为     

2、、直线的斜截式方程:已知直线的斜率为,且与轴的交点为   

直线的两点式方程

1、直线的两点式方程:已知两点其中    y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程:已知直线与轴的交点为a,与轴的交点为b,其中

直线的一般式方程

1、直线的一般式方程:关于的二元一次方程(a,b不同时为0)

2、各种直线方程之间的互化。

直线的交点坐标与距离公式

两直线的交点坐标

1、给出例题:两直线交点坐标

l1 :3x 4y-2=0    l1:2x y 2=0                                                                                                        

解:解方程                       

得 x=-2,y=2

所以l1与l2的交点坐标为m(-2,2)

1、两点间距离

两点间的距离公式

 

 

2、点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式:

点到直线的距离为:

2、两平行线间的距离公式:

已知两条平行线直线和的一般式方程为:,

:,则与的距离为

直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值,只要深入研究就会发现:直线斜率数值意义的解题功效是多方面的,如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题,可以大大简化解题速度.

1 借助直线的斜率巧解应用题

  例1 某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α<180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m(a>b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳?

  解 建立如图所示的直角坐标系,ao为镜框边,ab为画的宽度,o为下边缘上的一点,在x轴的正半轴上找一点c(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应使∠acb取得最大值.

  由三角函数的定义知:a、b两点坐标分别为(acosα,asinα)、(bcosα,bsinα),于是直线ac、bc的斜率分别为:

kac=tanxca=,.

  于是tanacb=

  由于∠acb为锐角,且x>0,则tanacb≤,当且仅当=x,即x=时,等号成立,此时∠acb取最大值,对应的点为c(,0),因此,学生距离镜框下缘 cm处时,视角最大,即看画效果最佳.

  点评 本题是一个非常实际的数学问题,它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用,而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力.解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问题转化成解析几何问题求解;二是把问题进一步转化成求tanacb的最大值,从而转化为有关斜率的问题.

2 借助直线的斜率比较大小

  例2 设m=,则m与n的大小关系为(    )

  a.m>n        b.m=n                                          c.m<n         d.无法判断    解析 将问题转化为比较a(-1,-1)与b(102001,102000)及c(102002,102001)连线的斜率大小,因为b、c两点的直线方程为y=x,点a在直线的下方,∴kab>kac,即m>n.答案:a.

  点评 如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理,而采用直线斜率的几何意义就直接明了,易处理.

3 借助直线的斜率求直线的方程

  例3.过点p(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于a,b两点,求(1)△abo面积的最小值,及相应的直线方程;(2)若︱pa︱·︱pb︱取最小值时,求直线的方程.

  解析 显然直线效率存在,设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0),得点a(),  b(0,1-2k),(1)s△abo=︱oa︱·︱ob︱=()(1-2k)=2 (-2k-),

∵k<0  ∴s△abo≥4,此时即直线为x+2y-4=0.

  (2)︱pa︱·︱pb︱=,  此时即直线为x+y-3=0.

4 构造直线斜率证明不等式问题

  例4.已知a、b、m都是正实数,并且a

  证明 如图,在平面直角坐标系内,设点,点. 由m>0和0

  点评 这是新教材高二数学上册上的一道例题.教材上是用比较法去进行证明的,但细细研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式,因为所证式子酷似直线的斜率表达式,故可借助题设条件构造直线,然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式.

5 构造直线斜率解决变量或参数范围问题

  例5 若在圆上运动,求的取值范围.

  解 因为是直线op(的斜率,在圆上,当p点是由原点o向圆作切线的切点时,取到最大值与最小值.

  设直线op的斜率为k,直线op的方程为y=kx,圆心c的坐标为,半径为.由于圆心c到切线的距离等于半径,于是可得方程:,解得.所以的取值范围为.

  点评 可以看成是点与原点连线所在直线的斜率,则可以构造如下一个函数:设k=,得函数y=kx.于是所求的取值范围问题就可以转换为求函数y=kx所对应直线的斜率的取值范围问题.

 

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