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如何判断函数的对称性与周期性-竞猜足球app

2022-01-06 20:55:04文/叶丹

函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但考试中还会考查函数对称性、连续性、凹凸性。对称性考查的频率一直比较高,如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,尤其是抽象函数的对称性判断。

对称性的概念

①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

函数的几种变换

1、平移变换

函数y=f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)的图像;向上平移b个单位得到函数y=f(x) b的图像;左平移a个单位得到函数y=f(x a)的图像;向下平移b个单位得到函数y=f(x)-b的图像(a,b>0)。

2、伸缩变换

函数y=f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时,伸)得到函数y=kf(x)的图像;

函数y=f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时,缩)得到函数y=f(kx)的图像(k>0,且k≠1)。

3、对称变换

(1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x);

关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。

(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y=2b-f(x);关于点(a,b)中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。

(3)绝对值问题

①函数y=f(x)x轴及其上方的图像保持不变,把下方图像关于x轴对称的翻折到上方,再把下方的图像去掉得到函数y=|f(x)|的图像;

②函数y=f(x)y轴及其右侧的图像保持不变,把左侧图像去掉,再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数y=f(|x|)的图像;

③函数y=f(x)先用第②步的方法得到函数y=f(|x|)的图像,再平移a个单位得到函数y=f(|x-a|)图象。

对称性的运用

1、求值

“配对”,对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

2、“对称性 对称性”可以推导出周期性

两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号,从而得出周期性。

3、“奇偶性 对称性”可以推导出周期性

这在前面已经提到,还是因为奇偶性有制造负号的能力。

4、三角函数的奇偶性

几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用,先求出所有的对称轴,然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心,然后原点是其中的一个)。

5、关于y=x对称的应用

(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数,关于y=x对称,而f(x)=e^(x 1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到,g(x)=ln(x 1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到,因而对称轴也跟着左移一个单位,即y=x 1)

6、对称性的本义

对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。

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