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高中数学三角函数公式-竞猜足球app

2022-01-07 18:43:03文/叶丹

            

三角函数

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考试内容:角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=asin(ωx φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求:(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=asin(ωx φ)的简图,理解a.ω、φ的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.(8)“同角三角函数基本关系式:sin2α cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”.

解题思路:

其关键是审清题意,画出图形,建立解三角形模型,最后解答。

1、解应用题的一般步骤是:(1)分析:审题、理解题意,分清已知与未知,根据题意画出示意图;(2)建模:确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素。把已知量与求解量集中在一个三角形中;(3)求解:运用正弦定理、余弦定理及面积公式等有序地解出这些子三角形,求得数学模型的解。(4)检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解。

2、解应用题中的几个角的概念(1)仰角、俯角(2)方向角(3)方位角

三角函数  知识要点

1. ①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):

②终边在x轴上的角的集合:

③终边在y轴上的角的集合:

④终边在坐标轴上的角的集合:

⑤终边在y=x轴上的角的集合:

⑥终边在轴上的角的集合:

⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:

⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:

⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:

⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:

2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 180°= 1°=0.01745  1=57.30°=57°18′

注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式:  1rad=°≈57.30°=57°18ˊ.     1°=≈0.01745(rad)

3、弧长公式:.       扇形面积公式:

4、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点p(x,y)p与原点的距离为r,则  ;  ;  ;  ;  ;. .

5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)

 

6、三角函数线

   正弦线:mp;   余弦线:om;    正切线: at.

 

7. 三角函数的定义域:

三角函数

                 定义域

sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函数的基本关系式:   

   

9、诱导公式:

“奇变偶不变,符号看象限”

三角函数的公式:(一)基本关系

 

公式组二                  公式组三

                                                 

公式组四               公式组五               公式组六            

                         

(二)角与角之间的互换

 

 

公式组一                                  公式组二

  

  

      

  

             

          

公式组三                    公式组四                                    公式组五

       

  

    

,,,.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

 

 

 

 

 

(a、>0)

定义域

r

r

 

 

r

值域

r

r

周期性

 

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

当非奇非偶

当奇函数

 

 

 

 

 

 

单调性

上为增函数;上为减函数()

;上为增函数

上为减函数

()

 

上为增函数()

上为减函数()

上为增函数;

上为减函数()

注意:①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).

②与的周期是.

③或()的周期.

的周期为2(,如图,翻折无效).

④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().

⑤当·;·.

⑥与是同一函数,而是偶函数,则

.

⑦函数在上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)

⑨不是周期函数;为周期函数();

是周期函数(如图);为周期函数();

的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:

.

⑩ 有.

11、三角函数图象的作法:

1)、几何法:

2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).

3)、利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=asin(ωx+φ)的振幅|a|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当a>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),

由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|a|>1)或缩短(当0<|a|<1)到原来的|a|倍,得到y=asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/a替换y)

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y (-b)替换y)

由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0)(x∈r)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数:

函数y=sinx,的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx,它的定义域是[-1,1],值域是.

函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].

函数y=tanx,的反函数叫做反正切函数,记作y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是.

函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).

反三角函数:⑴反正弦函数是奇函数,故,(一定要注明定义域,若,没有与一一对应,故无反函数)

注:,,.

⑵反余弦函数非奇非偶,但有,.

注:①,,.

②是偶函数,非奇非偶,而和为奇函数.

⑶反正切函数:,定义域,值域(),是奇函数,

,.

注:,.

⑷反余切函数:,定义域,值域(),是非奇非偶.

,.

注:①,.

②与互为奇函数,同理为奇而与非奇非偶但满足.

 

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:

的取值范围   解集                             的取值范围   解集

①的解集                               ②的解集

>1                                        >1           

=1                  =1  

<1            <1 

③的解集:   

③的解集:

二、三角恒等式.

组一

 

组二

组三 三角函数不等式

<<            在上是减函数

若,则

经典例题:

 

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